|
|
||
Kurser
Matematik
|
MATEMATIK LÅNG 1EKVATIONER OCH OLIKHETER
Läspass 9: Ekvationer av första graden Börja med att läsa igenom grundbegreppen på s. 48 samt hur man löser en ekvation av första graden på s. 49. Exemplet nere på sidan visar hur man löser en ekvation steg för steg. Lägg också märke till hur man ställer upp på pappret lösningen av en ekvation, man skriver varje steg på en ny rad. Uppgifter: Bokens uppgifter 54-55 på s.54, 62 på s. 55 och 136 på s. 90 Om en ekvation innehåller en nämnare, som är ett reellt tal (inte noll), kan man avskaffa denna nämnare genom att multiplicera båda leden med ett lämpligt tal. Läs igenom exemplet på s. 50 Uppgifter: Bokens uppgifter 56-57 på s. 54 och 138 på s. 90. I allmänhet har en ekvation av första graden enbart en lösning. Ibland kan den dock ha oändligt många lösningar eller sakna lösning. Då vi löser ekvationen enligt modellen på s. 49 kan det hända att termerna som innehåller variabeln ibland tar ut varandra, så att vi har ett uttryck t ex av typen 0 = 0 eller 0 = 2 till slut. Om vi har 0 = 0 stämmer ju detta, i så fall har det ju ingen betydelse vilket värde variabeln har, alltså satisfieras ekvationen av alla reella tal. Om vi däremot fåt t ex 0 = 2, så stämmer ju detta inte. Vi kan inte få utsagan att stämma oberoende av vilket värde vi ger variabeln. Då saknar ekvationen lösning. Ex: Lös ekvationen 2(2x+1) = 4x + 2 Då man avskaffar parenteserna lyder ekvationen 4x + 2 = 4x + 2 Då man flyttar över alla termer som innehåller x till vänstra ledet och alla andra termer till högra ledet fås 4x-4x = 2-2 , ,alltså 0 = 0 Alltså satisfieras denna ekvation av alla reella tal. Detta kan man pröva genom att sätta in ett godtyckligt tal i den ursprungliga ekvationen. Om däremot ekvationen skulle lyda 2(2x+1) = 4x + 3 skulle vi efter förenkling ha 4x 4x = 3 2 ,alltså 0 = 1 Denna ekvation saknar lösning. Uppgifter:
 (Svar
: Saknar lösning)2. Lös ekvationen 
(Svar :  R
)
Ofta förekommer ekvationerna i samband med problemlösning. Läs igenom exempel 8 på s. 53. Uppgift: Bokens uppgift 69 på s. 55
Repetera procenträkningen på s. 51. Kom ihåg att procent = hundradel. Beteckningen % är alltså egentligen bara ett beteckningssätt för hundradel. Läs mycket noggrant igenom exemplen. Procenträkning borde du kunna från tidigare, men eftersom det är en central del av matematiken bör du repetera. Observera också skillnaden mellan procent och procentenheter. Då man jämför två tal, skall man alltid i nämnaren ha ursprungstalet, det tal man jämför med. Ex: En ränta stiger från 8 % till 10 %. Ökningen
är 2 procentenheter (10-8) men räntan ökar till Uppgifter:
4. Hur många procent är 12 av 60 ? 5. Av vilket tal skall vi ta 30% för att få 36 ? 6. Priset på en bil höjs med 12% från 56000 mk. Vilket är det nya priset ? 7. En skiva säljs med 70 % rabatt. Vad kostar den, då priset var tidigare 99 mk 8. Hur många procent ökade bensinpriset, då det höjdes från 5,99 mk till 6,39 mk ? 9. Hur många procent var rabatten, då man fick en skjorta som kostat 120 mk för 50 mk?
Läs sedan igenom exemplen 6-7 på s. 52-53 noggrant. Uppgifter: Bokens uppgifter 64-68 på s. 55 Läs sedan också igenom exemplet på s. 79 angående ränta på ränta. I allmänhet läggs räntan till kapitalet en gång om året, om annat inte anges. Följande år får man sedan ränta både på det ursprungliga kapitalet och på föregående års ränta. Uppgifter: Bokens uppgifter 118-119 på s. 81
Ett olikhetstecken kan användas för att ange vilket av två uttryck som är större eller mindre. Om vi har en variabel i ena uttrycket, eller i båda uttrycken, kan olikheten vara sann eller falsk beroende på vilket värde vi ger variabeln. De variabelvärden som gör att olikheten stämmer är olikhetens lösningsmängd. En ekvation av första graden har i allmänhet endast en lösning, men en olikhet har i allmänhet oändligt många lösningar, t ex x > 5 är alla reella tal som är större än 5, sådana här tal finns det ju oändligt många. I stället för att använda olikhetstecken kan man använda intervallbeteckningar. Man kan också använda flera olikhetstecken, t ex 2 < x < 5 betyder att 2 < x och x < 5, d v s x ligger mellan 2 och 5. Läs igenom begreppen och beteckningarna på s. 57-58 i boken. Då man löser en olikhet kan man framskrida på ett liknande sätt som då man löser en ekvation. Det är dock viktigt att skilja på ekvationer och olikheter. En viktig skillnad är att då man multiplicerar eller dividerar alla led i en olikhet med ett negativt tal skall olikhetstecknen ändra riktning, för att olikheten fortfarande skall stämma. Detta kan man se genom att skriva den sanna olikheten 1 < 2. Multiplicerar vi båda leden med 1 får vi 1 < -2, vilket inte stämmer. Men om vi svänger om riktningen för olikhetstecknet får vi 1 > -2 , alltså stämmer olikheten igen då vi svänger olikhetstecknets riktning. Läs igenom s. 59-60 hur man löser en olikhet av första graden. Uppgifter: Bokens uppgifter 73-76 på s. 62 En dubbelolikhet är egentligen två olikheter som skall uppfyllas samtidigt. Lösningsmängden är de värden på variabeln, som uppfyller båda olikheterna. Läs igenom exemplet nere på s.60. Ibland kan man lösa en dubbelolikhet enkelt genom att addera till samma tal till alla tre led, se exemplet på s. 61 i avsnittet om absolutbeloppsolikheter. Ex: Lös olikheten Här kan vi subtrahera 2x från alla led i olikheten,
varefter olikheten lyder Sedan subtraherar vi ännu 2 från alla led i olikheten.
Då lyder olikheten Multiplicera sedan alla led med 1 , och kom ihåg att då ändra riktningen för olikhetstecknen. Svaret fås då som Uppgifter: Bokens uppgifter 77 och 80 på s. 62 I samband med problemlösning kan man också ofta komma fram till olikheter i samband med problemlösning. Läs igenom exemplet nere på s. 61 i boken. Uppgifter: Bokens uppgifter 81 och 83 på s. 62
Läs igenom definitionen av ett absolutbelopp på s. 29. Ett absolutbelopp anger ett avstånd, absolutbeloppet av ett tal är avståndet mellan nollan på tallinjen och detta tal. Detta kan man också använda sig av då man löser enkla absolutbeloppsekvationer. Läs igenom exemplen i avsnitt 9 på s.53-54. Om två absolutbelopp är lika stora, är talen innanför absolutbeloppen antingen lika eller varandras motsatta tal. Uppgift: Bokens uppgift 72 på s. 55 En enkel absolutbeloppsolikhet kan man lösa genom att tänka sig absolutbeloppet som ett avstånd från origo. Om absolutbeloppet då är mindre än ett visst tal, t ex mindre än 3 skall avståndet till origo vara mindre än 3, detta uppfylls ju av alla tal mellan 3 och 3. Läs igenom exemplet uppe på s. 61. Uppgift: Bokens uppgift 78 på s. 62. |
av den tidigare räntan, alltså är ökningen
125 % - 100 % = 25 %
.
.
.
I allmänhet skriver man det mindre talet längst till vänster,
vi skriver därför svaret som 
.